《趣味数学》真有趣，像讲故事一样，娓娓道来。

　　第一个问题，数学是什么？

　　，罗素在他所做的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好，这样的定义，像在开玩笑一样，他说。他说的话粗略的翻译出来就是，它说“数学”是这样一回事，研究他这种玩意儿的人也不知道自己究竟在在干些什么。这样的定义他的惝恍迷离，他的神奇莫测，真是不说还明白，一说反糊涂，然而要将已经发展到现在的数学的领域统括的完全，要将它繁复、灿烂的内容表达的活跃，好像除了这样也没有别的更好的话可说了。对于一般的数学读者，这定义恐怕反而是大家坠入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作是似乎少不了，罗素所所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是要用数学的其他定义来相比较更容易明白。

　　罗素的定义果真是开玩笑吗？我是很愿意接受罗素的定义的，为了要将他说的明白些，也就是要将数学的定义性质说得明白些，我想这样说，数学只是一种符号的游戏，假如有人觉得这样太轻佻了一点儿，严严正正的科学，怎么能说他是游戏呢？那么这般也可以，数学是使用符号来研究关系的科学，对于数学这种东西读者大都有过这样的疑问，这有什么意思呢？这有什么用呢？本来他不过让你知道一些关系，以及从某种关系中推演出别的关系来，而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体的给出什么用场和意义了，为了解释明白上面题的定义，我想从数学中举些例子来讲，更方便些

　　一开头我们就看。2+3=5这个式子中。什么叫2？什么叫3？什么叫5？这实在不容易回答，他们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿出两个铜板，两个支铅笔，两张纸，给人家看，但是我们却拿不出“2”来，也拿不出“3”和“5”来，就像什么是1，我们说一个铜板，一支铅笔，一个苹果，一个橘子，一个这样，一个那样，这些的共相，从这些东西我们认识出这共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给他起一个称呼，于是就叫他做1，两支铅笔，两个苹果，两个橘子，这些东西我们认识出这共相，给他们起个名字叫2，例如自己的名字，倘若你要问我，你为什么叫这个名字？我也回答不上来，我只能说这只是一个符号，有了它方便你们称呼，我让你们在茶余饭后要和朋友谈论我，批评我时，说起来方便些，所以我的名字就是我的符号，同样的“一”就是一个铜板，一支铅笔，一个苹果等等这些东西的共相的符号。

　　这么一说，自然2,3和5也一样，只是符号，至于加和等于在根源上要说他们只是符号一样也可以，不过从表面上说，他们只是只表示一种关系，所谓2+3表示2和3这两个符号在这里的关系是相合，所谓等于是表示在他前后的两件东西。在量上相同，所以归根结底2+3=5只是三个符号和两个关系的连缀，单只是这单只这么一个例子，似乎还不能说明白。

　　再举别的例子吧，假定你是将代数学完了的，我们就可以从数的范围逐渐扩大来说明，在算数里我们用的是只是1234等等这些数，最初跨进单数的门槛，遇到a,b,c,x,y,z，总有些不习惯.你对2+5=7并不惊奇，并不怀疑，对于两个加上五个等于七个也不惊奇，也不怀疑，但对于2a+5a=7a，你却怔住了。常常觉得不安心，不知道你在干什么，

　　其实呢，2a加5a=7a和2+5=7，对于你的习惯来说，后者不过更像符号而已，有了这样一个使用符号的进步，许多关系来得更简单，更普遍不是吗？若是将2a+5a=7a具体化，认为a只是一个狗的符号，那么这关系所表示的便是两只。两只狗碰到了5只狗，成为7只狗，若a是一个苹果的符号，那么这关系所表示的便是2个苹果加上5个苹果总共成7个苹果。于是这样轻而一举就扩展到了代数了。有趣吧

　　在调转一个方向来看算术中除法常有出不进的时候，比如2÷3，遇见这样的场合我们便有几种方法表示，（1）2÷3=0.667弱，（2）2÷3=0.6……2，（3）2÷3=0.6循环点，（4）2÷3=2/3.

　　第1种只是一个近似的表示法，第2种表示的是正确，但用起来很不方便，第3种是循环小数，关于循环小数的计算，那苦头你总尝到过，第3种是分数，2/3.是什么？你已知道就是3除2的意思，对了，只是“意思”毕竟没有除，这和3除6得2的意味中是不同的，所谓意思便是符号，因为除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号，有了这种符号，于是我们就可以推敲出分数中的各种关系。在算术里你知道5-3=2，但要碰到3减5你就没有办法，只好说一句。“不能够减”“不能够”这是什么意思啊？我替你解释便是没有办法表示这个关系，但是到了代数里面为了探究一些更普遍的关系，不能不想一个方法来突破这个困难，于是有些人便这样想3-5为什么不能够呢？他们异口同声地回答因为还差2的缘故，这一回答，关系就成立了，从3-5差2，在这个当儿又用一个符号-2来表示差2，于是这关系就成为3-5=-2这样一来真是好，有了负数，我们一则可探讨它自身所包含的一些关系，二则可以将我们已得到的一些关系普遍化。

　　这些符号的使用是代数所给的便利，学过代数的人都已经知道了，我也不用再说了，有整数到分数，有正整数到负数，有乘方到使用指数，我们就可以看出许多符号的创立和许多关系的产生，繁殖，要将乘方还原，用的是开方，开方常常会碰钉子，会开不出来，因此就有了无理数，总结这些例子来看，除了使用符号和发现关系以外，数学实在没有什么别的花头，倘若你学过平面三角，那么我相信你更容易承认这句话。所谓平面三角不就是只靠几个什么正弦、余弦这类的符号来表示几个比，然后去研究这些比的关系和三角形中的其他关系吗？

　　我说数学是使用符号来研究关系的，科学你应该不至于再怀疑了吧，在数学中你会碰到一些实际的问题要你计算，比如三个十两5钱总共多少斤？但这只是我们所得的关系的具体化，换句话说不过是一种应用，也许你还有一个疑问，数学中的公式和定理固然只是一些关系的表现形式，

　　但像定义那类的东西又是什么呢？我的回答是这样，那只是符号的规定，”到一个定点距离相等的一个完整的曲线叫圆”，这是一个定义，但也只是“圆”这个符号的规定，正正经经的说数学知识这么一回事，但我仍然高兴的说它是符号的游戏，

　　所谓游戏自然不是开玩笑的意思，两个要好的朋友拿着球拍在球场上打网球并没有什么争胜的要求，然而。兴致淋漓，不忍释手。在这时他们得到一种满足，这就是他们忘却一切的原因，这叫游戏，小孩子独自拿着两块石子儿在地上造房子，尽管满头大汗、气喘不止，但仍然拼尽全身力气去做，这是游戏，至于为银盾而赛球，为锦标而练习赛跑，这便不是游戏了，还有为了排遣寂寞，约几个人打麻将、喝老酒，这也算不来游戏。

　　就在这意味上，我说“数学是符号的游戏”，自然从这游戏中可有些收获，发现一些可以供人使用的关系，但符号使用的越多，所得的关系越不容易具体化，踏到数学的领域的后部，真的，你只见到符号和关系，这些符号、哪些关系要你说个明白，就是马马虎虎的说，你也无从下手。

　　到了这一步好了，罗素便说：数学是这样一回事，研究他这个玩意儿的人，也不知道自己究竟在干些什么。

　　这样不知不觉中，数的范围从整数，分数，正数，负数的范围就扩展到了有理数范围，顺便进入了代数，讲的很好玩呦！