大家跟纸打交道多年，不知道折过多少纸，甚至还能折出各种各样的花样。但是，你试过另一种折纸挑战吗？

　　拿一张普通的A4纸，对折之后再对折，你觉得最多能对折几次？

　　盲猜：对折十几下应该不成问题吧？

　　然而，当你动手试过后，会发现：

　　一张普通的A4纸，竟然很难对折超过7次！

　　7次，真的是折纸挑战的上限吗？能否突破这个限制？其实，这是一个简单的数学问题

　　01折纸的数学描述

　　假设纸张的原始长度、宽度、厚度分别为a、b、t，对折n次后，三者尺寸的变化如下表所示。

　　表中可以看到，每对折一次，长度或宽度减半，而厚度翻倍。它们之间存在一个2^n的幂次方关系，这个关系意味着尺寸关系变化非常快。许多故事都涉及2^n的幂次方关系。比如工资问题：第一天给你1分，第二天开始每天翻倍，一个月后总工资将超过1千万元。再比如国王的棋盘米粒问题：第一格1粒米，后面每格都翻倍，当64格放完时，整个王国甚至整个世界都将被掏空。

　　回到折纸问题，当对折第n次时，纸张厚度变成了原来的2^n倍。一张A4纸厚度约0.1毫米，如果对折23次，其厚度将达到约839米，而地球上最高的建筑物迪拜塔也不过828米高。

　　当对折42次时，纸的厚度将达到439805公里，已经超过了地月平均距离（384403.9公里）。如果继续对折至58次，厚度将超过太阳系直径（约300亿公里）；对折83次，就可以冲出银河系（直径约16万光年）了。

　　也许有一天我们可以靠折纸抵达太阳，登陆火星??小小的A4纸，竟能在数学上睥睨宇宙。照这么对折下去，根本就不需要嫦娥六号了。但是，这么明显的一个大bug，自然会有“宇宙规则”来限制，这个规则就是力学与材料。

　　02折纸的宇宙规则——力学与材料

　　现实中，普通A4纸通常只能对折7次。对折7次过后，纸张的理论尺寸变为：

　　长：18.6毫米

　　宽：26.3毫米

　　厚：12.8毫米

　　此时，厚度尺寸最小，再对折1次似乎并不难。但再对折1次后，厚度增加到25.6mm，远大于长和宽的尺寸，此时不容易弯折也比较容易理解。然而实际上，“宇宙规则”更早地介入了。对折完7次后，整个折纸的外观看起来非常“拧巴”，有很多地方出现了翘曲，纸张层与层之间的缝隙也变大了。这时，想要再对折第8次，变得非常困难。这到底如何解释呢？

　　原因1:力的规则

　　随着折纸次数的增加，纸张的尺寸变得越来越小，厚度却越来越大。从力学角度来看，尺寸越小、厚度越大的物体，需要更大的力来弯折。

　　一方面，尺寸的缩小使作用力产生的弯矩变小，想要掰弯纸张需要更大的力。另一方面，厚度的增加使叠合纸张的刚度变得更大，更不容易变形。

　　I为惯性矩，b为截面宽度，h为截面高度原因2:尺寸的规则

　　聪明的同学可能发现了一些端倪：如果A4纸变得更薄一些，对折后的纸也会薄一些。那么根据力的规则，更薄的叠合纸刚度更低，更容易弯折。确实如此，如果使用更薄的餐巾纸，对折8次相对容易。但是，纸的厚度不能无限减薄，于是选用更大尺寸的纸张，同样可以解决这个问题。在不知不觉当中，折纸成为了一项挑战。

　　最早的一项折纸纪录诞生于2002年。当时，美国加利福尼亚州一名叫BritneyGallivan的高三学生成功将一张纸连续对折了12次，创下了吉尼斯世界纪录。

　　2012年，美国德克萨斯州圣马克中学的学生们用一张长度超过4千米的纸对折了13次。由于最后一次折叠使用了许多辅助设施，这项纪录未被吉尼斯承认。

　　著名的《流言终结者》团队，将纸张拼接成55*75米的大纸，在压路机的帮助下，最终对折了11次。

　　原因3:结构的规则

　　纸张对折后堆叠成一块，形成了类似于层合板的结构。这种层间不粘结的结构在弯折时，内层几乎保持不变，而外层则被拉长。越厚的纸张，外层被拉长的程度越大，因此需要的外力也越大。如果各层完全独立，仅靠摩擦力作用，它将不足以抵抗弯折力，弯折后容易产生层间滑移。而对于完整的纸，折痕处相互连接，这种连接力加上层间的摩擦力，使得层间不易滑动，需要更大的力来克服弯折力。

　　甚至，当纸张足够厚时，弯曲产生的外层纸张拉扯力会超过其抗拉极限，导致纸张破裂，挑战失败。另外，普通的A4纸单层也有一定的结构强度，这也是为什么更软的餐巾纸可以对折更多次。如果是同样柔软的薄丝绸，它也可以轻松对折超过7次。

　　对折次数的倍增关系可能会突破你的想象，不超过百次对折就能轻松突破银河系，睥睨宇宙。然而，宇宙的规则限制了A4纸的对折极限。随着对折次数的增加，由于力臂的减小和折痕连接力的增大，所需要的外力急剧增加。想要对折更多次，需要更薄、更软、更大的平面材料。

　　赶快拿出纸来对折试试吧，努努力，说不定新的世界吉尼斯折纸纪录保持者就是你哦！

　　作者：王永健，南京农业大学副教授，江苏省力学学会科普工作委员会副秘书长，江苏省首席科技传播专家

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